:: алгоритмы  и методы :: :: олимпиадные задачи :: :: связь :: :: о сайте ::
Путь: АИ, ГА, Нейронные сети » Генетические алгоритмы » Диофантово уравнение
На правах рекламы
Скачать бесплатно программу Adobe Flash Player на сайте best-freesoft.ru
  Пример ГА: Решение Диофантова уравнения



Перевод Кантор И.

Рассмотрим диофантово (только целые решения) уравнение: a+2b+3c+4d=30, где a, b, c и d - некоторые положительные целые. Применение ГА за очень короткое время находит искомое решение (a, b, c, d).

Конечно, Вы можете спросить: почему бы не использовать метод грубой силы: просто не подставить все возможные значения a, b, c, d (очевидно, 1 <= a,b,c,d <= 30) ?

Архитектура ГА-систем позволяет найти решение быстрее за счет более 'осмысленного' перебора. Мы не перебираем все подряд, но приближаемся от случайно выбранных решений к лучшим.

Для начала выберем 5 случайных решений: 1 =< a,b,c,d =< 30. Вообще говоря, мы можем использовать меньшее ограничение для b,c,d, но для упрощения пусть будет 30.

Хромосома
(a,b,c,d)
1
(1,28,15,3)
2
(14,9,2,4)
3
(13,5,7,3)
4
(23,8,16,19)
5
(9,13,5,2)
Таблица 1: 1-е поколение хромосом и их содержимое

Чтобы вычислить коэффициенты выживаемости (fitness), подставим каждое решение в выражение a+2b+3c+4d. Расстояние от полученного значения до 30 и будет нужным значением.

Хромосома
Коэффициент выживаемости
1
|114-30|=84
2
|54-30|=24
3
|56-30|=26
4
|163-30|=133
5
|58-30|=28
Таблица 2: Коэффициенты выживаемости первого поколения хромосом (набора решений)

Так как меньшие значения ближе к 30, то они более желательны. В нашем случае большие численные значения коэффициентов выживаемости подходят, увы, меньше. Чтобы создать систему, где хромосомы с более подходящими значениями имеют большие шансы оказаться родителями, мы должны вычислить, с какой вероятностью (в %) может быть выбрана каждая. Одно решение заключается в том, чтобы взять сумму обратных значений коэффициентов, и исходя из этого вычислять проценты. (Заметим, что все решения были сгенерированы Генератором Случайных Чисел - ГСЧ)

Хромосома
Подходящесть
1
(1/84)/0.135266 = 8.80%
2
(1/24)/0.135266 = 30.8%
3
(1/26)/0.135266 = 28.4%
4
(1/133)/0.135266 = 5.56%
5
(1/28)/0.135266 = 26.4%
Таблица 3: Вероятность оказаться родителем

Для выбора 5-и пар родителей (каждая из которых будет иметь 1 потомка, всего - 5 новых решений), представим, что у нас есть 10000-стонняя игральная кость, на 880 сторонах отмечена хромосома 1, на 3080 - хромосома 2, на 2640 сторонах - хромосома 3, на 556 - хромосома 4 и на 2640 сторонах отмечена хромосома 5. Чтобы выбрать первую пару кидаем кость два раза и выбираем выпавшие хромосомы. Таким же образом выбирая остальных, получаем:

Хромосома отца
Хромосома матери
3
1
5
2
3
5
2
5
5
3
Таблица 4: Симуляция выбора родителей

Каждый потомок содержит информацию о генах и отца и от матери. Вообще говоря, это можно обеспечить различными способами, однако в нашем случае можно использовать т.н. "кроссовер" (cross-over). Пусть мать содержит следующий набор решений: a1,b1,c1,d1, а отец - a2,b2,c2,d2, тогда возможно 6 различных кросс-оверов (| = разделительная линия):

Хромосома-отец
Хромосома-мать
Хромосома-потомок
a1 | b1,c1,d1
a2 | b2,c2,d2
a1,b2,c2,d2 or a2,b1,c1,d1
a1,b1 | c1,d1
a2,b2 | c2,d2
a1,b1,c2,d2 or a2,b2,c1,d1
a1,b1,c1 | d1
a2,b2,c2 | d2
a1,b1,c1,d2 or a2,b2,c2,d1
Таблица 5: Кросс-оверы между родителями

Есть достаточно много путей передачи информации потомку, и кросс-овер - только один из них. Расположение разделителя может быть абсолютно произвольным, как и то, отец или мать будут слева от черты.

А теперь попробуем проделать это с нашими потомками

Хромосома-отец
Хромосома-мать
Хромосома-потомок
(13 | 5,7,3)
(1 | 28,15,3)
(13,28,15,3)
(9,13 | 5,2)
(14,9 | 2,4)
(9,13,2,4)
(13,5,7 | 3)
(9,13,5 | 2)
(13,5,7,2)
(14 | 9,2,4)
(9 | 13,5,2)
(14,13,5,2)
(13,5 | 7, 3)
(9,13 | 5, 2)
(13,5,5,2)
Таблица 6: Симуляция кросс-оверов хромосом родителей

Теперь мы можем вычислить коэффициенты выживаемости (fitness) потомков.

Хромосома-потомок
Коэффициент выживаемости
(13,28,15,3)
|126-30|=96
(9,13,2,4)
|57-30|=27
(13,5,7,2)
|57-30|=22
(14,13,5,2)
|63-30|=33
(13,5,5,2)
|46-30|=16
Таблица 7: Коэффициенты выживаемости потомков (fitness)

Средняя приспособленность (fitness) потомков оказалась 38.8, в то время как у родителей этот коэффициент равнялся 59.4. Следующее поколение может мутировать. Например, мы можем заменить одно из значений какой-нибудь хромосомы на случайное целое от 1 до 30.

Продолжая таким образом, одна хромосома в конце концов достигнет коэффициента выживаемости 0, то есть станет решением.

Системы с большей популяцией (например, 50 вместо 5-и сходятся к желаемому уровню (0) более быстро и стабильно.


  C++ код.



Класс на C++ требует 5 значений при инициализации: 4 коэффициента и результат. Для вышепривиденного примера это будет выглядеть так:

CDiophantine dp(1,2,3,4,30);
Затем, чтобы решить уравнение, вызовите функцию Solve() , которая возвратит аллель, содержащую решение. Вызовите GetGene(), чтобы получить ген с правильными значениями a, b, c, d. Стандартная процедура main.cpp, использующая этот класс, может быть такой:
#include "<iostream.h>"
#include "diophantine.h"

void main() {

   CDiophantine dp(1,2,3,4,30);

   int ans;
   ans = dp.Solve();
   if (ans == -1) {
      cout << "No solution found." << endl;
   } else {
      gene gn = dp.GetGene(ans);

      cout << "The solution set to a+2b+3c+4d=30 is:\n";
      cout << "a = " << gn.alleles[0] << "." << endl;
      cout << "b = " << gn.alleles[1] << "." << endl;
      cout << "c = " << gn.alleles[2] << "." << endl;
      cout << "d = " << gn.alleles[3] << "." << endl;
   }
}

Подробный разбор этого класса и дальнейшие объяснения можно найти здесь. А здесь его можно просто скачать.