:: алгоритмы  и методы :: :: олимпиадные задачи :: :: связь :: :: о сайте ::
Путь: Математика » Комбинаторика и перебор » Ханойские башни
На правах рекламы
По желанию клиента купить перцовый баллончик на любых условиях.
  Ханойские башни



Есть три стержня A, B, и C. На стержень A надето N дисков, наверху самый маленький, каждый следующий диск больше предыдущего, а внизу самый большой. На другие стержни дисков не надето.

Hеобходимо перенести диски со стержня A на стержень C, пользуясь стержнем B, как вспомогательным, так, чтобы диски на стержне C располагались в том же порядке, в каком они располагаются на диске A перед перемещением.

При перемещении никогда нельзя класть больший диск на меньший.


  Решение



Рекурсивный метод

Для того, чтобы переложить всю пирамиду, надо сначала переложить все, что выше самого большого диска, с первого на вспомогательный стержень, потом переложить это самое большой диск с первого на третий стержень, а потом переложить оставшуюся пирамиду со второго на третий стержень, пользуясь первым стержнем, как вспомогательным.


     /*

        данная процедура переносит N дисков со стержня A на стержень C

        пользуясь B как вспомогательным, соблюдая правила

      */

     процедура "Перенести" (A, B, C, N)

     начало

        если N=1

        // Если диск всего один, то надо его перенести напрямую

        то

            снять диск со стержня A и положить на стержень C;

            возврат из процедуры;

        иначе

            // Переносим все диски, кроме самого большога со стежня

            // A на стержень B

            Перенести (A,C,B,N-1);

            // Переносим самый большой диск со стержня A на стержень C

            снять диск со стержня A и положить на стержень C;

            // Переносим все диски со стержня B на стержень C поверх

            // самого большого диска

            Перенести (B,A,C,N-1);

            возврат из процедуры;

        конец если;

     конец процедуры "Перенести";

Всего получается 2N-1 перекладываний.

Исходник на Си++

Исходник на Си

Исходник на Паскале

Исходник на Бейсике ;-)


Нерекурсивный метод

Стержню, на котором диски находятся в начале, дадим номер 0; стержню, на который их надо перенести - номер 2; и, соответственно, оставшемуся стержню - номер 1.

Пусть всего дисков N. Занумеруем диски в порядке увеличения радиуса числами 0,1,2,...,N-1.

Как известно, задача решается за 2N-1 ходов. Занумеруем ходы числами 1,2,...,2N-1.

Любое натуральное число i единственным образом представимо в виде i=(2t+1)*2k, где t и k - целые (т.е. как произведение нечетного числа на некоторую степень двойки). Так вот, на i-ом ходе переносится диск номер k со стержня номер ((-1)N-k*t mod 3) на стержень номер ((-1)N-k*(t+1) mod 3).

Пример для N=4.


Ход  k(диск)  t  Со_стержня  Hа_стержень    Стержни

                                          |)!'

 1     0      0      0            1       |)!  '

 2     1      0      0            2       |)   '   !

 3     0      1      1            2       |)       !'

 4     2      0      0            1       |    )   !'

 5     0      2      2            0       |'   )   !

 6     1      1      2            1       |'   )!

 7     0      3      0            1       |    )!'

 8     3      0      0            1            )!' |

 9     0      4      1            2            )!  |'

10     1      2      1            0       !    )   |'

11     0      5      2            0       !'   )   |

12     2      1      1            2       !'       |)

13     0      6      0            1       !    '   |)

14     1      3      0            2            '   |)!

15     0      7      1            2                |)!'

если пpедставить что стержни, на котоpые одеваются диски, pасположены в yглах pавностоpоннего тpеyгольника, то самый маленький диск каждым нечетным ходом движется по (или пpотив, это от пеpвоначального кол-ва дисков зависит) часовой стpелки.

Все четные ходы опpеделяются однозначно. Какой диск меньше - тот и перекладывать (иначе противоречит условию). Т.к. тpогать диск 0 нельзя и класть больший на меньший тоже нельзя.

Отметим две закономерности:

  1. Hа каждом нечетном ходy происходит перенос наименьшего диска.
  2. Hаименьший диск всегда переносится циклически: либо A-B-C-A-B-C-... (в слyчае четного количества дисков), либо A-C-B-A-C-B-... (в слyчае нечетного).

А посемy полyчаем алгоритм:

1. Определяем число дисков, откyда находим как бyдет перемещаться наименьший диск (данный шаг делается в начале, притом один раз).

2. Смотрим номер хода: если нечетный - переносим наименьший диск в направлении, определенном в п.1. если четный - то возможный ход один единственный - берем наименьший из двyх верхних дисков и переносим его.

Можно написать немного по другому:

Для N от 1 до 2k-1 выполнять
1. В двоичном представлении N найти самый правый ненулевой разряд. Обозначим номер этого разряда t.

2. Обозначим номер стержня, на котором находится диск t через i. Переместить диск t со стержня i на стержень (i+(-1)t) mod 3.

Кстати, по номеру хода легко можно восстановить положение дисков на стержнях: после i-ого хода диск номер j находится на стержне номер (-1)n-j*((i div 2j)-(i div 2j+1)) mod 3.