:: алгоритмы  и методы :: :: олимпиадные задачи :: :: связь :: :: о сайте ::
Путь: Математика » Корни функций и нелинейных систем » Кубическое уравнение
На правах рекламы
Не стройте из газобетона - баня из пеноблоков. Новый год в отеле.
  Решение кубических уравнений



Статья предоставлена
(c) Nikitine Valeri F. 2000,
web: algorithm.narod.ru

Здесь представлен алгоритм для решения кубического уравнения методом Виета-Кардано. Программа написана для случая действительных коэффициентов (корни могут быть комплексными).

Кубическое уравнение записывается в виде:

x3+a*x2+b*x+c=0.

Для нахождения его корней, в случае действительных коэффициентов, вначале вычисляются:

Q=(a2-3b)/9,    R=(2a3-9ab+27c)/54.

Далее, если R2<Q3, то уравнение имеет три действительных корня, вычисляющихся по формулам (Виета):

t=acos(R/sqrt(Q3))/3,
x1=-2*sqrt(Q)cos(t)-a/3,
x2=-2*sqrt(Q)cos(t+(2*pi/3))-a/3,
x3=-2*sqrt(Q)cos(t-(2*pi/3))-a/3.

В том случае, когда R2>=Q3, то действительных корней один (общий случай) или два (вырожденные случаи). Кроме действительного корня, имеется два комплексно-сопряженных. Для их нахождения вычисляются (формула Кардано):

A=-sign(R)[|R|+sqrt(R2-Q3)]1/3,
B=Q/A
при A!=0 или B=0 при A=0.

Действительный корень будет:

x1=(A+B)-a/3.

Комплексно-сопряженные корни:

x2,3=-(A+B)/2-a/3 + i*sqrt(3)*(A-B)/2

В том случае, когда A=B, то комплексно-сопряженные корни вырождаются в действительный:

x2=-A-a/3.

Формулы Кардано и Виета требуют применения специальных функций, и в том случае, когда требуется провести большую серию вычислений корней кубического уравнения с не слишком сильно меняющимися коэффициентами, более быстрым алгоритмом является использование метода Ньютона или других итерационных методов (с нахождением начального приближения по формулам Кардано-Виета).

Ниже расположена программа для нахождения корней кубического уравнения с действительными коэффициентами.

/* Cubic equation solution. Real coefficients case.

   int Cubic(double *x,double a,double b,double c);
   Parameters:
   x - solution array (size 3). On output:
       3 real roots -> then x is filled with them;
       1 real + 2 complex -> x[0] is real, x[1] is real part of 
                             complex roots, x[2] - non-negative 
                             imaginary part.
   a, b, c - coefficients, as described 
   Returns: 3 - 3 real roots;
            1 - 1 real root + 2 complex;
            2 - 1 real root + complex roots imaginary part is zero 
                (i.e. 2 real roots). 
*/

#include <math.h>   /* for sqrt(), fabs(), pow(), cos(), acos(). */
#define M_PI (3.141592653589793)
#define M_2PI (2.*M_PI)

int Cubic(double *x,double a,double b,double c) {
  double q,r,r2,q3;
  q=(a*a-3.*b)/9.; r=(a*(2.*a*a-9.*b)+27.*c)/54.;
  r2=r*r; q3=q*q*q;
  if(r2<q3) {
    double t=acos(r/sqrt(q3));
    a/=3.; q=-2.*sqrt(q);
    x[0]=q*cos(t/3.)-a;
    x[1]=q*cos((t+M_2PI)/3.)-a;
    x[2]=q*cos((t-M_2PI)/3.)-a;
    return(3);
  }
  else {
    double aa,bb;
    if(r<=0.) r=-r;
    aa=-pow(r+sqrt(r2-q3),1./3.); 
    if(aa!=0.) bb=q/aa;
    else bb=0.;
    a/=3.; q=aa+bb; r=aa-bb; 
    x[0]=q-a;
    x[1]=(-0.5)*q-a;
    x[2]=(sqrt(3.)*0.5)*fabs(r);
    if(x[2]==0.) return(2);
    return(1);
  }
}