:: алгоритмы  и методы :: :: олимпиадные задачи :: :: связь :: :: о сайте ::
Путь: Математика » Графы и маршруты » Кратчайшие пути » Алгоритм Флойда
На правах рекламы
Для вас в нашей компании фонарь passat b6 для всех желающих.
  Алгоритм Флойда



Дано: непyстой взвешенный гpаф G=(V, E) с пpоизвольными весами ребер (дуг). Требуется найти длины кpатчайших пyтей между всеми парами вершин графа, если в графе нет циклов (контуров) отрицательной суммарной длины, либо обнаружить наличие таких контуров.

Инициализация:

1. Построим матрицу D0 размерности |V| x |V|, элементы которой определяются по правилу:

  1. dii0= 0;
  2. dij0= Weight(vi, vj), где i<>j, если в графе существует ребро (дуга) (vi, vj);
  3. dij0= бесконечность , где i<>j, если нет ребра (дуги) (vi, vj).
2. m:=0.

Основная часть:

1. Построим матрицу Dm+1 по Dm, вычисляя ее элементы следующим образом:
dijm+1=min{dijm, di(m+1)m + d(m+1)jm}, где i<>j; diim+1=0 (*).
Если dimm + dmim < 0 для какого-то i, то в графе существует цикл (контур) отрицательной длины, проходящий через вершину vi; ВЫХОД.

2. m:=m+1; если m<|V|, то повторяем шаг (1), иначе элементы последней построенной матрицы D|V| равны длинам кратчайших путей между соответствующими вершинами; ВЫХОД.

КОНЕЦ

Если требует найти сами пути, то перед началом работы алгоритма построим матрицу P с начальными значениями элементов pij=i. Каждый раз, когда на шаге (1) значение dijm+1 будет уменьшаться в соответствии с (*) (т.е. когда di(m+1)m + d(m+1)jm<dijm), выполним присваивание pij:=p(m+1)j. В конце работы алгоритма матрица P будет определять кратчайшие пути между всеми парами вершин: значение pij будет равно номеру предпоследней вершины в пути между i и j (либо pij=i, если путь не существует).

Примечаниe: если граф - неориентированный, то все матрицы Dm являются симметричными, поэтому достаточно вычислять элементы, находящиеся только выше (либо только ниже) главной диагонали.