:: алгоритмы  и методы :: :: олимпиадные задачи :: :: связь :: :: о сайте ::
Путь: Математика » Теория чисел » НОД и НОК. Обратный элемент
На правах рекламы
С хорошей скидкой запчасти митсубиси купить под любые нужды. Качественно.
  НОД, решение ax+by=1, нахождение обратного элемента по модулю




  Алгоритм Евклида.



1. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a = bq+r, 0 <= r < b.

2. Если r = 0, то b есть искомое число.

3. Если r =/= 0, то заменим пару чисел (a,b) парой (b,r)
и перейдем к шагу 1.

int NOD(int a,int b)
 {
    while(a!=0 && b!=0)
    {
       if(a>=b) a=a%b;
           else b=b%a;
    }
 return a+b; // Одно - ноль
 }
 

При вычислении наибольшего общего делителя (a,b) с помощью алгоритма Евклида будет выполнено не более 5p операций деления с остатком, где p есть количество цифр в десятичной записи меньшего из чисел a и b.


  Бинарный алгоритм Евклида.



Этот алгоритм использует соотношения для НОД:

     НОД(2*a, 2*b) = 2*НОД(a,b)
     НОД(2*a, b) = НОД(a,b) при нечетном b,

     Он иллюстрируется следующей программой:


  m:= a; n:=b; d:=1;
  {НОД(a,b) = d * НОД(m,n)}
  while not ((m=0) or (n=0)) do begin
    if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 0) then begin
      d:= d*2; m:= m div 2; n:= n div 2;
    end else if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 1) then begin
      m:= m div 2;
    end else if (m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 0) then begin
      n:= n div 2;
    end else if (m mod 2=1) and (n mod 2=1) and (m>=n)then begin
      m:= m-n;
    end else if (m mod 2=1) and (n mod 2=1) and (m<=n)then begin
      n:= n-m;
    end;
  end;
  {m=0 => ответ=d*n; n=0 =>  ответ=d*m}  
  

  Алгоритм решения уравнения ax+by = 1.



1.Определим матрицу E:
E =
( 1 0 )
( 0 1 )

2. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a=bq+r, 0 <= r < b.

3. Если r=0, то второй столбец матрицы E даёт вектор ( x, y ) решений уравнения.

4. Если r =/= 0, то заменим матрицу E матрицей
E *
( 0  1 )
( 1 -q )

5. Заменим пару чисел (a,b) на (b,r) и перейдем к шагу 2.


  Расширенный алгоритм Евклида.



Алгоритм Евклида можно расширить так, что он не только даст НОД(a,b)=d, но и найдет целые числа x и y, такие что ax + by = d.

Псевдокод.

НА ВХОДЕ: два неотрицательных числа a и b: a>=b
НА ВЫХОДЕ: d=НОД(a,b) и целые x,y: ax + by = d.

1. Если b=0 положить d:=a, x:=1, y:=0 и возвратить (d,x,y)
2. Положить x2:=1, x1:=0, y2:=0, y1:=1
3. Пока b>0
    3.1 q:=[a/b], r:=a-qb, x:=x2-qx1, y:=y2-qy1
    3.2 a:=b, b:=r, x2:=x1, x1:=x, y2:=y1, y1:=y
4. Положить d:=a, x:=x2, y:=y2 и возвратить (d,x,y)

Исходник на Си.

/* Author:  Pate Williams (c) 1997 */

#include <stdio.h>

#define DEBUG


void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)

/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */

{

  long q, r, x1, x2, y1, y2;


  if (b == 0) {

    *d = a, *x = 1, *y = 0;

    return;

  }

  x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;

  #ifdef DEBUG
  printf("------------------------------");
  printf("-------------------\n");
  printf("q    r    x    y    a    b    ");
  printf("x2   x1   y2   y1\n");
  printf("------------------------------");
  printf("-------------------\n");
  #endif

  while (b > 0) {

    q = a / b, r = a - q * b;

    *x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;

    a = b, b = r;

    x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;

    #ifdef DEBUG
    printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", q, r, *x, *y);
    printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", a, b, x2, x1);
    printf("%4ld %4ld\n", y2, y1);
    #endif

  }

  *d = a, *x = x2, *y = y2;

  #ifdef DEBUG
  printf("------------------------------");
  printf("-------------------\n");
  #endif

}



int main(void)
{

  long a = 4864, b = 3458, d, x, y;

  extended_euclid(a, b, &x, &y, &d);

  printf("x = %ld y = %ld d = %ld\n", x, y, d);

  return 0;
}

Алгоритм работает за O(log2n) операций.


  Нахождение обратного элемента по модулю



Для начала заметим, что элемент a кольца Zn обратим тогда и только тогда, когда НОД(a,n)=1. То есть ответ есть не всегда. Из определения обратного элемента прямо следует алгоритм.

Псевдокод.

НА ВХОДЕ: а из Zn.
НА ВЫХОДЕ: обратный к а в кольце, если он существует.

1. Использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения
   x и y, таких что ax + ny = d, где d=НОД(a,n).
2. Если d > 1, то обратного элемента не существует.
    Иначе возвращаем x.

Исходник на Си.

/*  Author:  Pate Williams (c) 1997 */


#include <stdio.h>

void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)

/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */

{
  long q, r, x1, x2, y1, y2;

  if (b == 0) {

    *d = a, *x = 1, *y = 0;

    return;
  }

  x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;

  while (b > 0) {

    q = a / b, r = a - q * b;

    *x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;

    a = b, b = r;

    x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;

  }

  *d = a, *x = x2, *y = y2;

}


long inverse(long a, long n)

/* computes the inverse of a modulo n */

{

  long d, x, y;


  extended_euclid(a, n, &x, &y, &d);

  if (d == 1) return x;

  return 0;

}


int main(void)

{

  long a = 5, n = 7;


  printf("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));

  a = 2, n = 12;

  printf("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));

  return 0;
}

  НОК.



НОК( a , b) = a*b / НОД(a, b)