1. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a = bq+r, 0 <= r < b.
2. Если r = 0, то b есть искомое число.
3. Если r =/= 0, то заменим пару чисел (a,b) парой (b,r) и перейдем к шагу 1.
int NOD(int a,int b)
{
while(a!=0 && b!=0)
{
if(a>=b) a=a%b;
else b=b%a;
}
return a+b; // Одно - ноль
}
При вычислении наибольшего общего делителя (a,b) с помощью алгоритма Евклида будет выполнено не более 5p операций деления с остатком, где p есть количество цифр в десятичной записи меньшего из чисел a и b.
Бинарный алгоритм Евклида.
Этот алгоритм использует соотношения для НОД:
НОД(2*a, 2*b) = 2*НОД(a,b)
НОД(2*a, b) = НОД(a,b) при нечетном b,
Он иллюстрируется следующей программой:
m:= a; n:=b; d:=1;
{НОД(a,b) = d * НОД(m,n)}
while not ((m=0) or (n=0)) do begin
if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 0) then begin
d:= d*2; m:= m div 2; n:= n div 2;
end else if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 1) then begin
m:= m div 2;
end else if (m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 0) then begin
n:= n div 2;
end else if (m mod 2=1) and (n mod 2=1) and (m>=n)then begin
m:= m-n;
end else if (m mod 2=1) and (n mod 2=1) and (m<=n)then begin
n:= n-m;
end;
end;
{m=0 => ответ=d*n; n=0 => ответ=d*m}
Алгоритм решения уравнения ax+by = 1.
1.Определим матрицу E:
E =
( 1 0 )
( 0 1 )
2. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a=bq+r, 0 <= r < b.
3. Если r=0, то второй столбец матрицы E даёт вектор ( x, y ) решений уравнения.
4. Если r =/= 0, то заменим матрицу E матрицей
E *
( 0 1 )
( 1 -q )
5. Заменим пару чисел (a,b) на (b,r) и перейдем к шагу 2.
Расширенный алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида можно расширить так, что он не только даст НОД(a,b)=d, но и найдет целые числа x и y, такие что ax + by = d.
Псевдокод.
НА ВХОДЕ: два неотрицательных числа a и b: a>=b
НА ВЫХОДЕ: d=НОД(a,b) и целые x,y: ax + by = d.
1. Если b=0 положить d:=a, x:=1, y:=0 и возвратить (d,x,y)
2. Положить x2:=1, x1:=0, y2:=0, y1:=1
3. Пока b>0
3.1 q:=[a/b], r:=a-qb, x:=x2-qx1, y:=y2-qy1
3.2 a:=b, b:=r, x2:=x1, x1:=x, y2:=y1, y1:=y
4. Положить d:=a, x:=x2, y:=y2 и возвратить (d,x,y)
Исходник на Си.
/* Author: Pate Williams (c) 1997 */
#include <stdio.h>
#define DEBUG
void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)
/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
{
long q, r, x1, x2, y1, y2;
if (b == 0) {
*d = a, *x = 1, *y = 0;
return;
}
x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;
#ifdef DEBUG
printf("------------------------------");
printf("-------------------\n");
printf("q r x y a b ");
printf("x2 x1 y2 y1\n");
printf("------------------------------");
printf("-------------------\n");
#endif
while (b > 0) {
q = a / b, r = a - q * b;
*x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
a = b, b = r;
x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;
#ifdef DEBUG
printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", q, r, *x, *y);
printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", a, b, x2, x1);
printf("%4ld %4ld\n", y2, y1);
#endif
}
*d = a, *x = x2, *y = y2;
#ifdef DEBUG
printf("------------------------------");
printf("-------------------\n");
#endif
}
int main(void)
{
long a = 4864, b = 3458, d, x, y;
extended_euclid(a, b, &x, &y, &d);
printf("x = %ld y = %ld d = %ld\n", x, y, d);
return 0;
}
Алгоритм работает за O(log2n) операций.
Нахождение обратного элемента по модулю
Для начала заметим, что элемент a кольца Zn обратим тогда и только тогда, когда НОД(a,n)=1. То есть ответ есть не всегда. Из определения обратного элемента прямо следует алгоритм.
Псевдокод.
НА ВХОДЕ: а из Zn.
НА ВЫХОДЕ: обратный к а в кольце, если он существует.
1. Использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения
x и y, таких что ax + ny = d, где d=НОД(a,n).
2. Если d > 1, то обратного элемента не существует.
Иначе возвращаем x.
Исходник на Си.
/* Author: Pate Williams (c) 1997 */
#include <stdio.h>
void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)
/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
{
long q, r, x1, x2, y1, y2;
if (b == 0) {
*d = a, *x = 1, *y = 0;
return;
}
x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;
while (b > 0) {
q = a / b, r = a - q * b;
*x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
a = b, b = r;
x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;
}
*d = a, *x = x2, *y = y2;
}
long inverse(long a, long n)
/* computes the inverse of a modulo n */
{
long d, x, y;
extended_euclid(a, n, &x, &y, &d);
if (d == 1) return x;
return 0;
}
int main(void)
{
long a = 5, n = 7;
printf("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
a = 2, n = 12;
printf("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
return 0;
}
