Huffman - Сначала кажется что создание файла меньших размеров из
исходного без кодировки последовательностей или исключения повтора байтов
будет невозможной задачей. Но давайте мы заставим себя сделать несколько
умственных усилий и понять алгоритм Хаффмана ( Huffman ). Потеряв не так
много времени мы приобретем знания и дополнительное место на дисках.
Сжимая файл по алгоритму Хаффмана первое что мы должны сделать - это
необходимо прочитать файл полностью и подсчитать сколько раз встречается
каждый символ из расширенного набора ASCII. Если мы будем учитывать все
256 символов, то для нас не будет разницы в сжатии текстового и EXE файла.
После подсчета частоты вхождения
каждого символа, необходимо просмотреть
таблицу кодов ASCII и сформировать мнимую компоновку между кодами по
убыванию. То есть не меняя местонахождение каждого символа из таблицы в
памяти отсортировать таблицу ссылок на них по убыванию. Каждую ссылку из
последней таблицы назовем "узлом". В дальнейшем ( в дереве ) мы будем позже
размещать указатели которые будут указывает на этот "узел". Для ясности
давайте рассмотрим пример:
Мы имеем файл длинной в 100 байт и имеющий 6 различных символов в
себе. Мы подсчитали вхождение каждого из символов в файл и получили
следующее :
|-----------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| cимвол | A | B | C | D | E | F |
|-----------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| число вхождений | 10 | 20 | 30 | 5 | 25 | 10 |
|-----------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
Теперь мы берем эти числа и будем называть их частотой вхождения
для каждого символа. Разместим таблицу как ниже.
|-----------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| cимвол | C | E | B | F | A | D |
|-----------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| число вхождений | 30 | 25 | 20 | 10 | 10 | 5 |
|-----------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
Мы возьмем из последней таблицы символы с наименьшей частотой. В нашем
случае это D (5) и какой либо символ из F или A (10), можно взять любой из
них например A.
Сформируем из "узлов" D и A новый "узел", частота вхождения для которого
будет равна сумме частот D и A :
Частота 30 10 5 10 20 25
Символа C A D F B E
| |
|--|--|
||-|
|15| = 5 + 10
|--|
Номер в рамке - сумма частот символов D и A. Теперь мы снова ищем два
символа с самыми низкими частотами вхождения. Исключая из просмотра D и A и
рассматривая вместо них новый "узел" с суммарной частотой вхождения. Самая
низкая частота теперь у F и нового "узла". Снова сделаем операцию слияния
узлов :
Частота 30 10 5 10 20 25
Символа C A D F B E
| | |
| | |
| |--|| |
|-|15|| |
||-| |
| |
| |--| |
|----|25|-| = 10 + 15
|--|
Рассматриваем таблицу снова для следующих двух символов ( B и E ).
Мы продолжаем в этот режим пока все "дерево" не сформировано, т.е. пока все
не сведется к одному узлу.
Частота 30 10 5 10 20 25
Символа C A D F B E
| | | | | |
| | | | | |
| | |--|| | | |
| |-|15|| | | |
| ||-| | | |
| | | | |
| | |--| | | |--| |
| |----|25|-| |-|45|-|
| ||-| ||-|
| |--| | |
|----|55|------| |
|-|| |
| |------------| |
|---| Root (100) |----|
|------------|
Теперь когда наше дерево создано, мы можем кодировать файл. Мы должны
всенда начнинать из корня ( Root ). Кодируя первый символ (лист дерева С)
Мы прослеживаем вверх по дереву все повороты ветвей и если мы делаем левый
поворот, то запоминаем 0-й бит, и аналогично 1-й бит для правого поворота.
Так для C, мы будем идти влево к 55 ( и запомним 0 ), затем снова влево (0)
к самому символу. Код Хаффмана для нашего символа C - 00. Для следующего
символа ( А ) у нас получается - лево,право,лево,лево , что выливается в
последовательность 0100. Выполнив выше сказанное для всех символов получим
C = 00 ( 2 бита )
A = 0100 ( 4 бита )
D = 0101 ( 4 бита )
F = 011 ( 3 бита )
B = 10 ( 2 бита )
E = 11 ( 2 бита )
Каждый символ изначально представлялся 8-ю битами ( один байт ), и так
как мы уменьшили число битов необходимых для представления каждого символа,
мы следовательно уменьшили размер выходного файла. Сжатие складывется
следующим образом :
|----------|----------------|-------------------|--------------|
| Частота | первоначально | уплотненные биты | уменьшено на |
|----------|----------------|-------------------|--------------|
| C 30 | 30 x 8 = 240 | 30 x 2 = 60 | 180 |
| A 10 | 10 x 8 = 80 | 10 x 3 = 30 | 50 |
| D 5 | 5 x 8 = 40 | 5 x 4 = 20 | 20 |
| F 10 | 10 x 8 = 80 | 10 x 4 = 40 | 40 |
| B 20 | 20 x 8 = 160 | 20 x 2 = 40 | 120 |
| E 25 | 25 x 8 = 200 | 25 x 2 = 50 | 150 |
|----------|----------------|-------------------|--------------|
Первоначальный размер файла : 100 байт - 800 бит;
Размер сжатого файла : 30 байт - 240 бит;
240 - 30% из 800 , так что мы сжали этот файл на 70%.
Все это довольно хорошо, но неприятность находится в том факте, что для
восстановления первоначального файла, мы должны иметь декодирующее дерево,
так как деревья будут различны для разных файлов. Следовательно мы должны
сохранять дерево вместе с файлом. Это превращается в итоге в увеличение
размеров выходного файла.
В нашей методике сжатия и каждом узле находятся 4 байта указателя,
по этому, полная таблица для 256 байт будет приблизительно 1 Кбайт длинной.
Таблица в нашем примере имеет 5 узлов плюс 6 вершин ( где и находятся
наши символы ) , всего 11. 4 байта 11 раз - 44. Если мы добавим после
небольшое количество байтов для сохранения места узла и некоторую другую
статистику - наша таблица будет приблизительно 50 байтов длинны.
Добавив к 30 байтам сжатой информации, 50 байтов таблицы получаем, что
общая длинна архивного файла вырастет до 80 байт. Учитывая , что
первоначальная длинна файла в рассматриваемом примере была 100 байт - мы
получили 20% сжатие информации.
Не плохо. То что мы действительно выполнили - трансляция символьного
ASCII набора в наш новый набор требующий меньшее количество знаков по
сравнению с стандартным.
Что мы можем получить на этом пути ?
Рассмотрим максимум которй мы можем получить для различных разрядных
комбинацй в оптимальном дереве, которое является несимметричным.
Мы получим что можно иметь только :
4 - 2 разрядных кода;
8 - 3 разрядных кодов;
16 - 4 разрядных кодов;
32 - 5 разрядных кодов;
64 - 6 разрядных кодов;
128 - 7 разрядных кодов;
Необходимо еще два 8 разрядных кода.
4 - 2 разрядных кода;
8 - 3 разрядных кодов;
16 - 4 разрядных кодов;
32 - 5 разрядных кодов;
64 - 6 разрядных кодов;
128 - 7 разрядных кодов;
--------
254
Итак мы имеем итог из 256 различных комбинаций которыми можно
кодировать байт. Из этих комбинаций лишь 2 по длинне равны 8 битам.
Если мы сложим число битов которые это представляет, то в итоге получим
1554 бит или 195 байтов. Так в максимуме , мы сжали 256 байт к 195 или 33%,
таким образом максимально идеализированный Huffman может достигать сжатия
в 33% когда используется на уровне байта.
Все эти подсчеты производились для не префиксных кодов Хаффмана т.е.
кодов, которые нельзя идентифицировать однозначно. Например код A - 01011 и
код B - 0101. Если мы будем получать эти коды побитно, то получив биты 0101
мы не сможем сказать какой код мы получили A или B , так как следующий бит
может быть как началом следующего кода, так и продолжением предыдущего.
Необходимо добавить, что ключем к построению префиксных кодов служит
обычное бинарное дерево и если внимательно рассмотреть предыдущий пример
с построением дерева , можно убедится , что все получаемые коды там
префиксные.
Одно последнее примечание - алгоритм Хаффмана требует читать входной
файл дважды , один раз считая частоты вхождения символов , другой раз
производя непосредственно кодирование.
А здесь - реализация на Паскалe.
|
