Л. Левкович-Маслюк,
А. Переберин. Введение в вейвлет-анализ
Разложение по поддаипазонам
характеризует
распределение “энергии” сигнала по частотам 
.
Иногда бывает полезно разложить сигнал на компоненты, энергия которых сосредоточена
в различных частотных поддиапазонах (т.е. существенно отлична от нуля на
различных подотрезках отрезка ),
и кодировать их с разной степенью детальности (например, в зависимости
от чувствительности человеческого уха к звукам различной частоты). Задолго
до создания вейвлет-анализа для этого использовалась схема, которую мы
сейчас опишем.
Мы хотим найти два фильтра, h (подавляющий высокие частоты) и
g (подавляющий низкие частоты), которые позволяли бы разложить сигнал
на две компоненты, 
и 
, вдвое
их проредить (половина значений становится лишней – ведь частотный диапазон
сократился вдвое!), а затем, с помощью транспонированных фильтров, точно
восстановить по этим данным исходный сигнал (эту операцию можно применять
рекурсивно). Условия на искомые фильтры удобно записать в терминах z-преобразования.
Пусть 
– z-преобразование одной из компонент. Перед кодированием она прореживается
вдвое, а перед восстановлением исходного сигнала доводится до исходной
длины вставкой нулей между соседними значениями. При этом z-преобразование
из превращается
в 
. Подставим
сюда (1.1’) для каждого из фильтров, и получим z-преобразования
компонент перед восстановлением
z-преобразования транспонированных фильтров имеют вид 
и 
. Сигнал
восстановится с их помощью точно, если:
.Получаем условия точного восстановления (perfect reconstruction, PR):
В матричной форме они записываются так: 
,где
Подставив 
, получим
условия на ДПФ искомых фильтров:
-
(1.2) -
Допустим, что мы нашли h такой, что
(1.2’)
Тогда, положив
(1.3)
,мы видим, что (1.2) выполняется. Задача свелась к нахождению тригонометрического
многочлена 
,
удовлетворяющего (1.2’). На методах построения таких многочленов мы остановимся
в следующей лекции. Фильтры h и g, удовлетворяющие (1.2),
называются квадратурными зеркальными фильтрами (quadrature mirror filters,
QMF).
На рис.1, (a) и (b), показаны ДПФ такой пары фильтров h и g, а также исходный сигнал до и после фильтрации (без прореживания).
Точно такую же операцию можно применить к одной или обеим из полученных компонент, и т.д., добиваясь нужной локализации по частоте. Это позволяет адаптироваться к особенностям сигнала за счет выбора подходящего “дерева разложения”. Оно может выглядеть, например, так:
